已知,其中a>0,且a≠1.
(1)求f(x);
(2)求证:f(x)是奇函数;
(3)求证:f(x)在R上为增函数.
分析:利用换元法,可令t=logax,求出f(x),从而求出f(x).证明奇函数及增函数可运用定义.
解:用换元法求出f(x)的解析式,由于其中含有字母,故需讨论.
设t=logax,则x=at,
∵a>0,a≠1,∴ax1ax2>0,1+ax1ax2>0.
若0<a<1,则ax1>ax2,ax1-ax2>0.
此时a2-1<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
同理若a>1,f(x1)<f(x2).
综上所述,当a>0且a≠1时,f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,是单调增函数.
变式训练:
1、的图象关于原点对称,则实数a的值为________.
解析:由图象关于原点对称可知函数为奇函数,
所以f(-x)+f(x)=0,即
所以(负根舍去).
答案:1