对数函数考点分析及经典例题讲解（一）

已知，其中a＞0，且a≠1.

（1）求f（x）；

（2）求证：f（x）是奇函数；

（3）求证：f（x）在R上为增函数.

分析：利用换元法，可令t=log_ax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.

解：用换元法求出f(x)的解析式，由于其中含有字母，故需讨论．

设t＝log_ax，则x＝a^t，

∵a>0，a≠1，∴ax₁ax₂>0,1＋ax₁ax₂>0.

若0<a<1，则ax₁>ax₂，ax₁－ax₂>0.

此时a2－1(a)<0，

∴f(x₁)－f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)．

同理若a>1，f(x₁)<f(x₂)．

综上所述，当a>0且a≠1时，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，是单调增函数．

变式训练：

1、的图象关于原点对称，则实数a的值为________．

解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数，

所以f(－x)＋f(x)＝0，即

所以(负根舍去)．

答案：1